$x^2-4x+12y-40=0$ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণটি হলো:

\(x^2 - 4x + 12y - 40 = 0\)

পরাবৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ রূপে প্রকাশ করার জন্য আমরা \(x\) এর পদগুলোকে একপাশে এবং \(y\) ও ধ্রুবক পদগুলোকে অন্যপাশে নিয়ে যাই।

\(x^2 - 4x = -12y + 40\)

\(x\) এর সাপেক্ষে বর্গ সম্পন্ন করি। বামপক্ষে \((x-a)^2\) আকারে আনার জন্য \((x^2 - 4x + 4)\) তৈরি করতে হবে। তাই উভয়পাশে 4 যোগ করি।

\(x^2 - 4x + 4 = -12y + 40 + 4\)

\((x-2)^2 = -12y + 44\)

ডানপক্ষ থেকে \(-12\) কমন নিই:

\((x-2)^2 = -12(y - \frac{44}{12})\)

ভগ্নাংশটি সরল করি: \(\frac{44}{12} = \frac{11}{3}\)

সুতরাং, আদর্শ রূপে সমীকরণটি হলো:

\((x-2)^2 = -12(y - \frac{11}{3})\)

এটি \((x-h)^2 = -4a(y-k)\) আকারের একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ, যেখানে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|\)।

আমাদের প্রাপ্ত সমীকরণ \((x-2)^2 = -12(y - \frac{11}{3})\) কে আদর্শ সমীকরণ \((x-h)^2 = -4a(y-k)\) এর সাথে তুলনা করলে পাই:

\(-4a = -12\)

\(4a = 12\)

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো \(|4a|\)।

অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \( = 12\)।